Berechnung des Motorimpulses eines Flugs aus den Flugdaten

Es ist möglich, den Impuls eines Motors aus einem Flugprotokoll einer Rakete zu berechnen, solange einige Bedingungen erfüllt sind. Das Flugprotokoll benötigt eine IMU, und der Flug benötigt die beladene Masse der Rakete und die Treibstoffmasse.

Jeder IMU-Flug auf der Website zeichnet den Motorschub in Newton aus den Daten des Fluges selbst auf. Nichts wird aus der veröffentlichten Kurve des Motors entnommen außer seinen Massen. Die Form der Kurve, die Brenndauer und der Impuls sind das, was Ihr Flug aufgezeichnet hat.

Was der Beschleunigungssensor wirklich misst

Ein Beschleunigungssensor misst nicht die Schwerkraft. Er misst die Kraft, die ihn durch die Flugzeugzelle erreicht, pro Masseneinheit. Auf der Startrampe ist diese Kraft die Stange und der Druckausgleicher, die die Rakete halten, weshalb er stillstehend 1 G anzeigt. Außerhalb der Rampe gibt es nur zwei Dinge, die auf die Rakete wirken: der Motor und die Luft. Also liest der Beschleunigungssensor während des Fluges Schub minus Widerstand, pro Masseneinheit, entlang der Flugzeugzelle. Die Schwerkraft erscheint niemals in der Messung, und die Messung ist gleich, in welche Richtung die Rakete zeigt.

a = (T − D) / m      so      T / m = a + D / m

wobei a die Messung ist, T der Schub, D der Widerstand und m die Masse in diesem Moment. Alles, was folgt, geht darum, die zwei Dinge auf der rechten Seite zu finden, die der Sensor nicht direkt angibt: den Widerstand und die Masse.

Wir verwenden die Größe der Messung anstelle einer einzelnen Achse, daher ist es egal, wie das Altimeter montiert ist oder ob es in der Schachtöffnung verrutschte. TrueFuse's Attitude liefert das Vorzeichen: Schub gewinnt oder Widerstand gewinnt. Die Seitenkraft auf eine stabile Flugzeugzelle bei kleinem Anstellwinkel ist klein gegen beides und bleibt in der Messung.

Flug 3057 von Bernard C, ein Estes C6-5 auf einem Nano V1: 1 G auf der Rampe vom Druckausgleicher, die Verbrennung, dann die Küstenlesung nur des Widerstands und fallend auf null, während die Geschwindigkeit sinkt.

Die Küste ist die Kalibrierung

Nach dem Ausbrennen tut der Motor nichts, also ist alles, was der Beschleunigungssensor misst, Widerstand. Der Widerstand geht mit der Luftdichte mal Geschwindigkeit zum Quadrat, und pro Masseneinheit kollabiert er zu einer Konstante für die Flugzeugzelle:

D / m = k ρ v²      with      k = C_d A / 2m

In der Küste ist T null, also ist die Messung einfach a = −k ρ v². Eine gerade Linie der Küstenentschleunigung gegen Dichte mal Geschwindigkeit zum Quadrat, durch den Ursprung, weil die Physik sagt, dass es nichts anderes darin gibt, ergibt k für diesen Flug, angeordnet so, dass eine Ausstiegszündung oder ein Apogee-Impuls es nicht steuern kann. Nichts über die Größe, Form oder den Widerstandsbeiwert der Rakete ist nötig; der Flug misst seinen eigenen Widerstand. Bei einem Flug, der transsonisch wird, wird die Konstante pro Mach-Band statt einmal angepasst, weil die Küste genau durch die Geschwindigkeiten zurückkommt, durch die der Abbrand hinaufging, und der Widerstandsbeiwert ist keine einzelne Zahl durch Mach 1.

Jede Küstenprobe desselben Fluges: die Beschleunigungsmesserlesart, die die Widerstandsentschleunigung allein ist, gegen Luftdichte mal Geschwindigkeit zum Quadrat. Die Steigung ist die Widerstandskonstante, und die Anpassung erklärt die Küste fast perfekt.

Die gleiche Konstante wird dann durch den Abbrand wieder hinzugefügt, und was bleibt, ist der Schub allein, pro Masseneinheit:

T / m = a + k ρ v²

Die Dichte stammt aus der verschmolzenen Höhe durch die gleiche barometrische Formel, die die Website überall verwendet. Die Geschwindigkeit ist die verschmolzene vertikale Geschwindigkeit, und die nächsten zwei Abschnitte behandeln, warum sie verschmolzen sein muss und welche Kosten vertikal sind. Sobald die Konstante richtig ist, liest die Spur null durch die Küste, und Ausbrennen, Abdriften und eine zweite Zündung können direkt von der Linie abgelesen werden. Die Kompensation kann den Abbrand nur um den Widerstand erhöhen, der kurz nach dem Ausbrennen zu sehen ist, also ist eine Spur weit oben über der rohen Messung ein Fehler in der Geschwindigkeit oder der Anpassung, nicht ein stärkerer Motor, und die Statistiken der Anpassung werden mit dem Flug aufbewahrt, damit das überprüft werden kann, anstatt angenommen zu werden.

Die rohe Messung und die widerstandskompensierte Spur. Mit dem Widerstand wieder hinzugefügt liegt die Küste bei null und der Abbrand wird um den Widerstand erhöht, gegen den er ankämpfte.

Was ist mit der Luftdichte?

Die Dichte im Widerstandsterm ist ein Verhältnis zur Rampe, keine absolute Größe. Sie stammt aus der verschmolzenen Höhe über der Rampe durch die barometrische Formel, die für Dichte statt Druck gelöst wurde:

ρ / ρ_pad = (1 − L h / T_pad)^{n − 1}

mit h der Höhe über der Rampe, L der Standard-Absinktempo, T_pad die Rampentemperatur (die des Altimeters selbst, wo es eine protokolliert) und n der Druckexponent der barometrischen Formel, weniger eins für die Temperatur, die mit ihr sinkt. Es sagt nur, wie viel dünner die Luft dort oben ist als dort, wo die Rakete abfuhr. Weil die Widerstandskonstante gegen dasselbe Verhältnis angepasst wird, kommt sie in Rampendichte-Einheiten heraus und die reale Dichte des Tages hebt sich auf: Was auch immer die Luft war, die Konstante mal das Verhältnis mal Geschwindigkeit zum Quadrat ist der Widerstand, den der Beschleunigungssensor maß. Wetterdaten können den Schub oder den Impuls nicht genauer machen, und wir verwenden sie nicht dafür.

Was das Verhältnis trägt, ist die Dichteänderung zwischen der Küste, wo die Konstante angepasst wird, und dem Abbrand, wo sie angewendet wird. Das ist unter zehn Prozent pro Kilometer, also ein kleiner Bruchteil eines Widerstandsterms, der selbst ein kleiner Teil des Schubes ist. Der eine Ort, wo die Dichte des Tages wichtig wäre, ist, wenn Sie den Widerstandsbeiwert der Rakete als absolute Zahl wollen, und das ist eine Frage über die Flugzeugzelle, nicht über den Motor.

Warum die Geschwindigkeit verschmolzen sein muss

Der Widerstand geht mit Geschwindigkeit zum Quadrat, daher wird jeder Fehler in der Geschwindigkeit in dem Widerstand verdoppelt und geht direkt in den Schub. Eine Geschwindigkeit, die nur aus Druck entnommen wird, ist nicht gut genug dafür, aus zwei Gründen.

Der erste ist, dass Geschwindigkeit die Steigung der Höhe ist, und die Steigung einer rohen Druckhöhe bei hunderten Proben pro Sekunde zu nehmen ergibt eine Linie, die größtenteils Rauschen ist. Sie genug zu glätten, um brauchbar zu sein, verschwimmt genau das Ding, auf das die Anpassung ankommt, die scharfe Änderung beim Ausbrennen, und verzögert die reale Geschwindigkeit durch den Abbrand.

Der zweite ist, dass das Barometer genau dort am wenigsten vertrauenswürdig ist, wo die Geschwindigkeit am meisten zählt. Der Druckanstieg bei der Zündung, die Luftströmung über die Lüftungslöcher in Geschwindigkeit und die Ausstiegszündung landen alle in dem Abbrand und der frühen Küste, und das sind die Momente, wo der Widerstand am größten ist und die Anpassung entschieden wird. Eine reine Druckgeschwindigkeit durch diesen Teil des Fluges kann um einen großen Bruchteil danebengehen, und zum Quadrat ist das eine Widerstandskonstante, die für den ganzen Flug falsch ist.

Ein gutes Barometer, das Nano auf Flug 3057: die Druckgeschwindigkeit liest etwa zehn Prozent zu hoch durch den Abbrand und mehrere Prozent zu niedrig in der frühen Küste. Klein in m/s, verdoppelt in dem Widerstand.

Ein Barometer, dem man nicht trauen kann, ein Mercury V1 auf Flug 3070: die Druckhöhe las 77 m zu hoch beim Ausbrennen, also spitzt sich die Druckgeschwindigkeit auf 181 m/s auf einer Rakete, die 67 erreichte. Die verschmolzene Geschwindigkeit trägt direkt hindurch.

TrueFuse trägt die Geschwindigkeit des Beschleunigungssensors selbst durch diese Momente, was glatt ist und unmittelbar Probe für Probe, und hält sie an der barometrischen Höhe über die längere Zeit, damit sie nicht abdriften kann. Die vertikale Geschwindigkeit, die aus dieser verschmolzenen Höhe entnommen wird, hat die Schärfe des Beschleunigungssensors und die Verankerung des Barometers, und es ist die gleiche Geschwindigkeit, der die Geschwindigkeitsspalte des Altimeters selbst folgt. Weil die Widerstandskonstante in der Küste dagegen angepasst wird und durch den Abbrand damit addiert wird, wird die eine Geschwindigkeit konsistent auf beiden Seiten des Gesetzes verwendet.

Raketengeschwindigkeit oder vertikale Geschwindigkeit?

Genau genommen, will der Widerstand die Geschwindigkeit der Rakete entlang ihres Weges durch die Luft, und was die Verschmelzung trägt, ist die vertikale Komponente davon. Die zwei sind durch den Flugweg-Winkel γ von vertikal verbunden:

v = v_z / cos γ

Wir nehmen cos γ als 1 und verwenden die vertikale Geschwindigkeit auf beiden Seiten des Gesetzes, und das ist eine bewusste Wahl. Weil k in der Küste gegen v_z² angepasst wird, passt ein gekippter Flug einfach eine größere Konstante an, k / cos²γ, und wenn diese Konstante durch den Abbrand gegen den gleichen v_z² angewendet wird, hebt sich die Neigung aus dem Schub auf. Eine stetige Neigung kostet nichts. Was bleibt, ist die Winkeländerung zwischen dem Abbrand und der Küste: Der Widerstand, der durch den Abbrand wieder hinzugefügt wird, ist um das Verhältnis von cos²γ im Abbrand zu cos²γ in der Küste aus. Eine Rakete, die die Schiene bei fünf Grad verlässt und auf zehn Grad aufgelöst hat, wenn die Anpassung gemacht wird, ist etwa zwei Prozent auf dem Widerstandsterm aus, was unter einem halben Prozent des Impulses ist. Eine, die von zehn zu zwanzig Grad wendet, ist etwa zehn Prozent auf dem Widerstand aus, etwa eineinhalb Prozent des Impulses, immer zu hoch lesend.

Wir haben die volle Version versucht. Der Winkel kann aus der Richtung der spezifischen Kraft gegen die Vertikale gelesen werden, aber genau wo Schub und Widerstand fast gleich sind, ist die Größe der Messung nah bei null und ihre Richtung ist Sensorrauschen, und der wieder hinzugefügte Widerstand sprang um mehr als den ganzen Widerstand, den er korrigierte. Die Version der vertikalen Geschwindigkeit hat kein Winkelrauschen darin, sein Küstenresidualsignal ist halb so groß, und die angepassten Widerstandskonstanten stimmen mit den Zahlen überein, die die Altimeter sich selbst während des Fluges ausarbeiten. Exakt im Prinzip aber lauter in der Praxis ist der falsche Handel für eine Messung, also benutzt das Gesetz die vertikale Geschwindigkeit und akzeptiert ein Prozent oder so auf einem schlecht wendig fliegenden Flug.

Von G zu Newton

Die Spur bisher ist Schub pro Masseneinheit. Um Newton zu bekommen, brauchen wir die Masse zu jedem Moment, und die Masse fällt, während der Treibstoff verbrennt. Mit einer konstanten effektiven Ausgangsgeschwindigkeit c geht der Treibstoff im Schritt mit dem Schub:

dm / dt = −T / c      so      m(t) = m₀ e^{−A(t) / c}      where      A(t) = ∫ (T / m) dt

A(t) ist nur die vom Start integrierte Spur, die Geschwindigkeit, die der Motor bisher geliefert hat, also ist die Masse zu jedem Moment die Startmasse skaliert um den bis dahin gelieferten Schub. Die Ausgangsgeschwindigkeit ist der eine Wert, der macht, dass der über dem ganzen Abbrand verbrannte Treibstoff gleich der Treibstoffmasse des Motors m_p ist:

c = A_burn / ln( m₀ / (m₀ − m_p) )

Multipliziere die Spur mit der Masse und du hast Schub in Newton, T(t) = m(t) × (T/m)(t). Der gemessene Impuls ist die Treibstoffmasse mal diese Ausgangsgeschwindigkeit, I = m_p c, und dividiere c durch g ergibt die effektive spezifische Dauer des Motors auf diesem Flug.

Flug 3057: die Masse durch den Abbrand, 82,8 g fallend auf 72,0 g, am schnellsten fallend beim Schusspitze.

Das Ergebnis in Newton gegen die ThrustCurve.org-Zertifizierungskurve: 8,6 Ns gemessen gegen 8,82 Ns bewertet, mit der Form, dem Höhepunkt und der Brenndauer dieses Fluges eigenes.

Die Standards hinter den Zahlen

Motoren werden unter NFPA 1125, dem US-Code für die Herstellung von Modellraketen- und Hochleistungsraketenmotoren, bewertet, und der Impuls und die Brenndauer auf der Flugseite folgen seinen Definitionen, damit der Vergleich mit der Bewertung gleich für gleich ist. Klausel 7.8.3: Die Treibstoffbrennzeit verläuft von dort, wo der Schub zuerst über 5 Prozent seines endgültigen Höhepunkts ansteigt, bis er unter 5 Prozent des Höhepunkts fällt. Klausel 7.8.5: Der Gesamtimpuls wird von diesem 5-Prozent-Anstieg bis zum letzten messbaren Schub vor dem Ausstoß oder Durchbrennen gemessen, oder für einen verschlossenen Motor bis dort, wo alle Aktivität aufgehört hat. Die Verzögerung (7.8.4) wird vom 5-Prozent-Fall zur Ausstoßung gemessen. Wir zeigen die absolute Zahl, jeden Newton vom Start bis zum Ende des Schubes, neben der NFPA-Zahl. Wenn der Schub 5 Prozent des Höhepunkts passierte, während die Rampe die Rakete noch hielt, öffnet sich das NFPA-Fenster beim Start und die Seite sagt das.

Der gleiche Code setzt die Toleranz, die ein Produktionssatz zulässig ist (7.8.6): Ein Modellraketenmotor kann um bis zu 20 Prozent von seinem etablierten mittleren Gesamtimpuls variieren, ein Hochleistungsmotor 10 Prozent, und eine Verzögerung um 1,5 Sekunden oder 20 Prozent, je nachdem, was größer ist, bis zu 3 Sekunden. Ein Flug, der ein Paar Prozent unter der Bewertung liest, ist nicht der Beweis eines unterdurchschnittlichen Motors. Es ist ein Motor gut innerhalb dessen, was sein Zertifikat zulässt, gemessen durch eine Methode, die ein Paar Prozent ihrer eigenen hat, und die Flugseite sagt jetzt auf der bewerteten Linie, ob die Messung innerhalb dieser Toleranz liegt.

In Nordamerika wird die Prüfung durch das Standards and Testing Committee der National Association of Rocketry durchgeführt (Modellraketenmotoren und neuerdings einige Hochleistung), durch das Motor-Testprogramm der Tripoli Rocketry Association (Hochleistung) und durch die Canadian Association of Rocketry. Die drei akzeptieren gegenseitig ihre Zertifizierungen, und die Australian Model Rocket Society zertifiziert für seinen eigenen Markt. Die Kurven und Zahlen, gegen die wir vergleichen, sind ihre veröffentlichten Zertifizierungsdaten, über ThrustCurve.org. Die Impulsklassen kommen aus der gleichen Familie von Codes: A ist 1,26 bis 2,50 Ns und jeder Buchstabe danach verdoppelt sich, mit 1/2A und 1/4A darunter. Die Bezeichnung eines Motors ist sein Klassenbuchstabe gefolgt von seinem durchschnittlichen Schub in Newton über die NFPA-Brennzeit, das ist, wie die Seite zu „gemessen als E34" für einen Motor, der als E30 verkauft wird, ankommt.

Im Vereinigten Königreich und der EU sind Motoren pyrotechnische Gegenstände, Kategorie P1 oder P2 je nach Motor, unter der Richtlinie 2013/29/EU über Pyrotechnische Gegenstände und den Regulations of the United Kingdom 2015 on Pyrotechnic Articles (Sicherheit), und müssen CE-gekennzeichnet sein, um verkauft zu werden. Der harmonisierte Standard für sie ist EN 16263, Pyrotechnische Gegenstände, Andere pyrotechnische Gegenstände, deren Prüfmethoden (Teil 4) verlangen, dass die Spitzenzugkraft, der Impuls und die Brenndauer eines Raketenmotors gegen die erklärten Toleranzen des Herstellers gemessen und aufgezeichnet werden. Es ist eher ein Sicherheits- und Konformitätsstandard als ein Bewertungsstandard, daher kommen die Zahlen auf dem Etikett und die veröffentlichte Kurve noch von statischen Tests durch den Hersteller oder einen der Zertifizierungsstellen oben, und gegen das ist es, dass wir einen Flug vergleichen.

Bei einem gestaffelten Flug zündet jede Stufe bei seinem Zündstempel und die Stufe darunter, sein Rahmen und seine verbrauchten Gehäuse, werden in diesem Moment abgeworfen, daher fängt die Masse für die nächste Stufe wieder an.

Prüfung

Hier sind ein paar Flüge mit ihrem Raketenhub von Gewichten, die von der Website eingegeben wurden, und ihre Motoren angegeben.
Die roten Linien sind die berechnete Schubkurve des Motors in Newton, die schwarzen Linien sind die Beschleunigungsgröße und die grüne gestrichelte Linie ist eine Überlagerung der thrustcurve.org-Daten für den Motor. 

Dies ist Flug 3057 und ist ein Estes C6. Thrustcurve.org berichtet einen erwarteten Impuls von 8,82 Ns, und die Flugprotokoll-Daten berechnen auf 8,62 Ns, was unglaublich nah beieinander liegt.



Dies ist Flug 3070 und ist ein Aerotech E30T-7. Thrustcurve.org berichtet einen erwarteten Impuls von 33,56 Ns, und die Flugprotokoll-Daten berechnen auf 33,00 Ns, ein anderes beeindruckend enges Ergebnis.

Die Ergebnisse haben unsere Methode verifiziert, und wenn mehr Benutzer Motoren und Gewichte eingeben, werden wir in der Lage sein, weiter zu verifizieren.

Was es braucht und was es nicht sehen kann

• Die beladene Masse der Rakete und die Treibstoffmasse des Motors. Die Newton-Zahl skaliert direkt mit der beladenen Masse; die Form der Kurve und die Brenndauer nicht. Ein Prozent aus auf der Masse ist ein Prozent aus auf dem Impuls.
• Eine Küste lang genug, um den Widerstand anzupassen. Ohne eine wird die Spur unkompensiert gezeichnet und die Grafik sagt das.
• Der Widerstand ist eine Konstante für einen transsonischen Flug. Der Widerstandsbeiwert ist nicht eine Zahl durch Mach 1, daher, wenn die Küste schnell genug für das ist, um wichtig zu sein, wird die Konstante pro Mach-Band aus der gleichen Küste angepasst und der Abbrand wird bei dem Mach, bei dem er war, kompensiert. Die sehr Oberseite der Geschwindigkeitsspanne, zwischen Ausbrennen und wo die Küstenanpassung anfangen kann, trägt des nächsten Bands Wert.
• Eine konstante Ausgangsgeschwindigkeit durch den Abbrand. Echte Motoren variieren ein wenig, was verschiebt, wo die Masse innerhalb des Abbrands verlorengegangen ist, aber nicht der Impuls, der durch die Treibstoffmasse festgesetzt ist.
• Ein Beschleunigungssensor mit Bereich zu erübrigen. Ein Motor, der die Messung über die Vollskala des Sensors drückt, hat seinen Höhepunkt abgeschnitten, und der Impuls liest dann niedrig um was immer über der Grenze war. Das Nano liest bis 32 G.
• Genug Proben durch den Abbrand. Ein Schusspitze nur ein oder zwei Proben breit wird unter-gelesen; das kostet Schusspitze viel mehr als Impuls, der ein Integral ist und es vergibt.
• Der auf der Rampe verbrannte Treibstoff wird nicht gesehen. Es ist der kurze Anstieg zum Gewicht der Rakete und klein gegen den Abbrand.
• Neigung. Eine stetige Neigung hebt sich aus dem Gesetz; nur eine Winkeländerung zwischen Abbrand und Küste bleibt, ein paar Prozent des Widerstandsterms und ein Bruchteil eines Prozents des Impulses, wie oben.