Calculando o impulso do motor a partir dos dados de voo
É possível calcular o impulso de um motor a partir do registro de voo de um foguete, desde que algumas condições sejam atendidas. O registro de voo precisa de uma IMU, e o voo precisa da massa carregada do foguete e da massa do propelente.
Todo voo com IMU no site desenha o empuxo do motor em newtons a partir dos dados do próprio voo. Nada é extraído da curva publicada do motor, exceto suas massas. A forma da curva, o tempo de queima e o impulso são o que seu voo registrou.
O que o acelerômetro realmente vê
Um acelerômetro não mede a gravidade. Ele mede a força que o alcança através da estrutura, por unidade de massa. Na plataforma, essa força é a haste e o defletor de explosão segurando o foguete, razão pela qual ele lê 1 G em repouso. Fora da plataforma apenas duas coisas empurram o foguete: o motor e o ar. Assim em voo o acelerômetro lê empuxo menos arrasto, por unidade de massa, ao longo da estrutura. A gravidade nunca aparece na leitura, e a leitura é a mesma independentemente da direção apontada pelo foguete.
a = (T − D) / m então T / m = a + D / m
onde a é a leitura, T o empuxo, D o arrasto e m a massa naquele instante. Tudo o que se segue é sobre encontrar as duas coisas à direita que o sensor não fornece diretamente: o arrasto e a massa.
Usamos o tamanho da leitura em vez de qualquer eixo único, portanto não importa como o altímetro está montado ou se ele deslizou na baía. A atitude do TrueFuse fornece o sinal: empuxo vencendo ou arrasto vencendo. A força lateral em um foguete estável com pequeno ângulo de ataque é pequena em relação a ambos, e é deixada na leitura.
Voo 3057 de Bernard C, um Estes C6-5 em um Nano V1: 1 G na plataforma do defletor, a queima, depois o arrasto lido em planar e caindo para zero enquanto a velocidade diminui.
O planar é a calibração
Após o final da queima o motor não faz nada, portanto tudo que o acelerômetro lê é arrasto. O arrasto vai com a densidade do ar vezes a velocidade ao quadrado, e por unidade de massa ele se reduz a uma constante para a estrutura:
D / m = k ρ v² com k = Cd A / 2m
No planar T é zero, então a leitura é simplesmente a = −k ρ v². Um ajuste linear da desaceleração em planar contra densidade vezes velocidade ao quadrado, através da origem porque a física diz que não há nada mais nela, dá k para esse voo, arranjado de forma que uma carga de ejeção ou um blip de apogeu não possa direcioná-lo. Nada sobre o tamanho, forma ou coeficiente de arrasto do foguete é necessário; o voo mede seu próprio arrasto. Em um voo que vai transônico a constante é ajustada por banda de Mach em vez de uma única vez, porque o planar volta exatamente através das velocidades que a queima subiu, e o coeficiente de arrasto não é um número através de Mach 1.
Cada amostra em planar do mesmo voo: a leitura do acelerômetro, que é apenas a desaceleração do arrasto, contra a densidade do ar vezes a velocidade ao quadrado. A inclinação é a constante de arrasto, e o ajuste explica o planar quase perfeitamente.
A mesma constante é então adicionada novamente durante a queima, e o que resta é apenas o empuxo, por unidade de massa:
T / m = a + k ρ v²
A densidade vem da altitude fundida através da mesma fórmula barométrica que o site usa em todos os lugares. A velocidade é a velocidade vertical fundida, e as próximas duas seções tratam de por que ela precisa ser fundida e o que a vertical custa. Uma vez que a constante está correta, o traço lê zero durante todo o planar, e o final da queima, cauda descendo e uma segunda queima de estágio pode ser lida diretamente da linha. A compensação nunca pode aumentar a queima além do arrasto visto logo após o final da queima, portanto um traço muito acima da leitura bruta é uma falha na velocidade ou no ajuste, não um motor mais forte, e as estatísticas do próprio ajuste são mantidas com o voo para que isso possa ser verificado em vez de assumido.
A leitura bruta e o traço compensado por arrasto. Com o arrasto adicionado novamente, o planar fica em zero e a queima é elevada pelo arrasto que estava combatendo.
E a densidade do ar?
A densidade no termo de arrasto é uma razão para a plataforma, não uma figura absoluta. Ela vem da altitude fundida acima da plataforma através da fórmula barométrica resolvida para densidade em vez de pressão:
ρ / ρplataforma = (1 − L h / Tplataforma)n − 1
com h a altura acima da plataforma, L a taxa de variação padrão, Tplataforma a temperatura da plataforma (a do próprio altímetro onde ele registra uma) e n o expoente de pressão da fórmula barométrica, menos um pela temperatura que diminui com ela. Ela apenas diz o quão mais fino o ar é lá do que onde o foguete saiu. Como a constante de arrasto é ajustada contra essa mesma razão, ela sai em unidades de densidade de plataforma e a densidade real do dia é cancelada: seja qual for o ar, a constante vezes a razão vezes a velocidade ao quadrado é o arrasto que o acelerômetro mediu. Os dados meteorológicos não podem tornar o empuxo ou o impulso mais precisos, e não os usamos para isso.
O que a razão carrega é a mudança de densidade entre o planar, onde a constante é ajustada, e a queima, onde ela é aplicada. Isso é menos de dez por cento por quilômetro, portanto uma pequena fração de um termo de arrasto que é ele mesmo uma pequena parte do empuxo. O único lugar onde a densidade do dia importaria é se você quisesse o coeficiente de arrasto do foguete como um número absoluto, e essa é uma pergunta sobre a estrutura, não o motor.
Por que a velocidade precisa ser fundida
O arrasto vai com o quadrado da velocidade, portanto qualquer erro na velocidade é duplicado no arrasto e vai direto para o empuxo. Uma velocidade extraída apenas da pressão não é boa o suficiente para isso, por duas razões.
A primeira é que a velocidade é a inclinação da altitude, e tirar a inclinação de uma altitude de pressão bruta em centenas de amostras por segundo dá uma linha que é principalmente ruído. Suavizá-la o suficiente para ser utilizável borra exatamente a coisa na qual o ajuste depende, a mudança abrupta no final da queima, e fica atrás da velocidade real durante a queima.
A segunda é que o barômetro está em seu ponto menos confiável exatamente onde a velocidade mais importa. O aumento de pressão na ignição, fluxo de ar sobre os furos de ventilação em velocidade, e a carga de ejeção caem todos na queima e no planar inicial, e esses são os momentos em que o arrasto é maior e o ajuste é decidido. Uma velocidade apenas de pressão através dessa parte do voo pode estar errada por uma grande fração, e ao quadrado isso é uma constante de arrasto que é errada para todo o voo.
Um bom barômetro, o Nano no voo 3057: a velocidade de pressão lê cerca de dez por cento alta durante a queima e vários por cento baixa no planar inicial. Pequeno em m/s, duplicado no arrasto.
Um barômetro em que não se pode confiar, um Mercury V1 no voo 3070: a altitude de pressão leu 77 m alta no final da queima, portanto a velocidade de pressão atinge 181 m/s em um foguete que atingiu 67. A velocidade fundida passa direto através dela.
O TrueFuse carrega a própria velocidade do acelerômetro através desses momentos, que é suave e imediata amostra após amostra, e a mantém à altitude barométrica no longo prazo para que não possa derivar. A velocidade vertical extraída dessa altitude fundida tem a nitidez do acelerômetro e a ancoragem do barômetro, e é a mesma velocidade que a coluna de velocidade do próprio altímetro segue. Como a constante de arrasto é ajustada contra ela no planar e adicionada novamente com ela durante a queima, a mesma velocidade é usada consistentemente em ambos os lados da lei.
Velocidade do foguete ou velocidade vertical?
Estritamente, o arrasto quer a velocidade do foguete ao longo de seu caminho pelo ar, e o que a fusão carrega é o componente vertical dela. Os dois estão relacionados pelo ângulo do caminho de voo γ da vertical:
v = vz / cos γ
Tomamos cos γ como 1 e usamos a velocidade vertical em ambos os lados da lei, e essa é uma escolha deliberada. Como k é ajustado contra vz² no planar, um voo inclinado simplesmente ajusta uma constante maior, k / cos²γ, e quando essa constante é aplicada durante a queima contra a mesma vz² a inclinação se cancela do empuxo. Uma inclinação constante não custa nada. O que resta é a mudança de ângulo entre a queima e o planar: o arrasto adicionado novamente durante a queima está errado pela razão de cos²γ na queima para cos²γ no planar. Um foguete que deixa o trilho em cinco graus e curvou para dez no momento em que o ajuste é feito está errado em cerca de dois por cento no termo de arrasto, que é menos de meio por cento do impulso. Um que sofre biruta de dez para vinte graus está errado em cerca de dez por cento no arrasto, cerca de um e meio por cento do impulso, sempre lendo alto.
Tentamos a versão completa. O ângulo pode ser lido pela direção da força específica contra a vertical, mas exatamente onde empuxo e arrasto são quase iguais o tamanho da leitura está próximo de zero e sua direção é ruído do sensor, e o arrasto adicionado novamente pulou por mais do que todo o arrasto que estava corrigindo. A versão de velocidade vertical não tem ruído de ângulo nela, seu resíduo em planar é metade do tamanho, e as constantes de arrasto ajustadas concordam com os números que os altímetros trabalham por si mesmos em voo. Exato em princípio mas mais ruidoso na prática é a negociação errada para uma medição, portanto a lei usa a velocidade vertical e aceita um por cento ou mais em um voo mal inclinado por biruta.
De G para newtons
O traço até agora é empuxo por unidade de massa. Para obter newtons precisamos da massa em cada instante, e a massa está caindo enquanto o propelente queima. Com uma velocidade de escape efetiva constante c o propelente vai em passo com o empuxo:
dm / dt = −T / c então m(t) = m0 e−A(t) / c onde A(t) = ∫ (T / m) dt
A(t) é apenas o traço integrado da decolagem, a velocidade que o motor entregou até agora, portanto a massa em qualquer momento é a massa inicial reduzida pelo empuxo entregue até então. A velocidade de escape é o único valor que torna o propelente queimado ao longo de toda a queima igual à massa de propelente do motor mp:
c = Aqueima / ln( m0 / (m0 − mp) )
Multiplique o traço pela massa e você tem empuxo em newtons, T(t) = m(t) × (T/m)(t). O impulso medido é a massa do propelente vezes essa velocidade de escape, I = mp c, e dividir c por g dá o impulso específico efetivo do motor neste voo.
Voo 3057: a massa durante a queima, 82,8 g caindo para 72,0 g, caindo mais rápido no pico de empuxo.
O resultado em newtons contra a curva de certificação ThrustCurve.org: 8,6 Ns medido contra 8,82 Ns classificado, com a forma, o pico e o tempo de queima deste próprio voo.
Os padrões por trás dos números
Os motores são classificados sob NFPA 1125, o código dos EUA para a fabricação de motores de foguete modelo e de alta potência, e o impulso e tempo de queima na página de voo seguem suas definições para que a comparação com a classificação seja igual. Cláusula 7.8.3: o tempo de queima do propelente vai de onde o empuxo sobe acima de 5 por cento de seu pico eventual para onde cai abaixo de 5 por cento do pico. Cláusula 7.8.5: o impulso total é medido a partir dessa elevação de 5 por cento até o último empuxo mensurável antes de ejeção ou ruptura, ou para um motor com tampão até onde toda a ação cessou. O atraso (7.8.4) é cronometrado a partir da queda de 5 por cento até a ejeção. Mostramos a figura absoluta, cada newton da decolagem ao final do empuxo, junto com a do NFPA. Onde o empuxo passou 5 por cento do pico enquanto a plataforma ainda estava segurando o foguete, a janela NFPA abre na decolagem e a página diz isso.
O mesmo código estabelece a tolerância que um lote de produção é permitido (7.8.6): um motor de foguete modelo pode variar até 20 por cento de seu impulso total médio estabelecido, um motor de alta potência 10 por cento, e um atraso de 1,5 segundos ou 20 por cento, o que for maior, até 3 segundos. Um voo lendo um ou dois por cento abaixo da classificação não é evidência de um motor com desempenho abaixo do esperado. É um motor bem dentro do que sua certificação permite, medido por um método que tem um ou dois por cento do seu próprio, e a página de voo agora diz na linha classificada se a medição fica dentro dessa tolerância.
Na América do Norte, o teste é feito pelo comitê Padrões e Testes da National Association of Rocketry (motores de foguete modelo, e recentemente alguns de alta potência), pelo programa de teste de motores da Tripoli Rocketry Association (alta potência) e pela Canadian Association of Rocketry. Os três aceitam certificações um do outro, e a Australian Model Rocket Society certifica para seu próprio mercado. As curvas e números que comparamos são seus dados de certificação publicados, por meio do ThrustCurve.org. As classes de impulso vêm da mesma família de códigos: A é 1,26 a 2,50 Ns e cada letra depois duplica, com 1/2A e 1/4A abaixo. A designação de um motor é sua letra de classe seguida por seu empuxo médio em newtons sobre o tempo de queima NFPA, que é como a página chega a "medido como E34" para um motor vendido como E30.
No Reino Unido e na UE, os motores são artigos pirotécnicos, categoria P1 ou P2 dependendo do motor, sob a Diretiva de Artigos Pirotécnicos 2013/29/EU e os Regulamentos de Artigos Pirotécnicos (Segurança) de 2015 do Reino Unido, e têm que ser marcados CE para serem vendidos. O padrão harmonizado para eles é EN 16263, Artigos Pirotécnicos, Outros artigos pirotécnicos, cujos métodos de teste (Parte 4) exigem que o empuxo de pico de um motor de foguete, impulso e tempo de queima sejam medidos e registrados contra as tolerâncias do fabricante. É um padrão de segurança e conformidade em vez de um classificação, portanto os números na etiqueta e na curva publicada ainda vêm de testes estáticos pelo fabricante ou um dos órgãos de certificação acima, e é aqueles que comparamos um voo contra.
Em um voo em estágio, cada estágio acende em seu carimbo de ignição e o estágio abaixo, sua estrutura e suas carcaças gastas, são soltos naquele momento, portanto a massa recomeça para o próximo estágio.
Testando
Aqui estão alguns voos com seu levantamento de pesos de foguete inseridos do site, e seus motores especificados.
As linhas vermelhas são o empuxo calculado do motor em newtons, as linhas pretas são a magnitude da aceleração e a linha tracejada verde é uma sobreposição dos dados do thrustcurve.org para o motor.
Este é o voo 3057 e é um Estes C6. O Thrustcurve.org relata um impulso esperado de 8,82 Ns, e os dados do registro de voo calculam 8,62 Ns, o que é incrivelmente próximo.
Este é o voo 3070 e é um Aerotech E30T-7. O Thrustcurve.org relata um impulso esperado de 33,56 Ns, e os dados do registro de voo calculam 33,00 Ns, outro resultado impressionantemente próximo.
Os resultados verificaram nosso método, e à medida que mais usuários inserem motores e pesos, poderemos verificar ainda mais.
O que precisa, e o que não pode ver
- A massa carregada do foguete e a massa do propelente do motor. A figura em newtons dimensiona diretamente com a massa carregada; a forma da curva e o tempo de queima não. Um por cento errado na massa é um por cento errado no impulso.
- Um planar longo o suficiente para ajustar o arrasto. Sem um, o traço é desenhado sem compensação e o gráfico diz assim.
- O arrasto é uma constante para um voo subsônico. O coeficiente de arrasto não é um número através de Mach 1, portanto quando o planar é rápido o suficiente para que isso importe, a constante é ajustada por banda de Mach a partir do mesmo planar e a queima é compensada no Mach em que estava. O topo muito alto da faixa de velocidade, entre o final da queima e onde o ajuste de planar pode começar, carrega o valor da banda mais próxima.
- Uma velocidade de escape efetiva constante durante a queima. Motores reais variam um pouco, que move onde a massa é perdida dentro da queima, mas não o impulso, que é definido pela massa do propelente.
- Um acelerômetro com intervalo de sobra. Um motor que empurra a leitura além da escala completa do sensor tem seu pico cortado, e o impulso então lê baixo por tudo que estava acima do limite. O Nano lê até 32 G.
- Amostras suficientes durante a queima. Um pico de empuxo apenas uma ou duas amostras de largura é lido abaixo; isso custa o pico de empuxo muito mais do que o impulso, que é uma integral e o perdoa.
- Propelente queimado antes do foguete sair da plataforma não é visto. É a subida curta para o peso do foguete e pequeno contra a queima.
- Inclinação. Uma inclinação constante se cancela fora da lei; apenas uma mudança de ângulo entre queima e planar permanece, alguns por cento do termo de arrasto e uma fração de um por cento do impulso, como acima.
