Calculando el impulso del motor de un vuelo a partir de los datos de vuelo
Es posible calcular el impulso de un motor a partir del registro de vuelo de un cohete siempre que se cumplan algunas condiciones. El registro de vuelo necesita una IMU, y el vuelo necesita la masa cargada del cohete y la masa del propelente.
Cada vuelo con IMU en el sitio extrae el empuje del motor en newtons de los datos propios del vuelo. Nada se toma de la curva publicada del motor excepto sus masas. La forma de la curva, el tiempo de quemado y el impulso son lo que registró tu vuelo.
Lo que el acelerómetro realmente mide
Un acelerómetro no mide la gravedad. Mide la fuerza que llega a través de la estructura del cohete, por unidad de masa. En la rampa esa fuerza es la varilla y el deflector de explosión sosteniendo el cohete, por eso lee 1 G quieto. Fuera de la rampa solo dos cosas empujan el cohete: el motor y el aire. Así que en vuelo el acelerómetro lee el empuje menos la resistencia, por unidad de masa, a lo largo de la estructura. La gravedad nunca aparece en la lectura, y la lectura es la misma sin importar hacia dónde apunta el cohete.
a = (T − D) / m entonces T / m = a + D / m
donde a es la lectura, T el empuje, D la resistencia y m la masa en ese instante. Todo lo que sigue trata de encontrar las dos cosas de la derecha que el sensor no proporciona directamente: la resistencia y la masa.
Usamos el tamaño de la lectura en lugar de un solo eje, así que no importa cómo esté montado el altímetro o si se deslizó en la bahía. La actitud de TrueFuse proporciona el signo: empuje ganando o resistencia ganando. La fuerza lateral en una estructura estable con un pequeño ángulo de ataque es pequeña contra cualquiera de ellas, y se deja en la lectura.
Vuelo 3057 de Bernard C, un Estes C6-5 en un Nano V1: 1 G en la rampa del deflector, el quemado, luego la lectura de planeo solo resistencia y cayendo a cero conforme la velocidad cae.
El planeo es la calibración
Después del apagado el motor no está haciendo nada, así que todo lo que lee el acelerómetro es resistencia. La resistencia va con la densidad del aire por la velocidad al cuadrado, y por unidad de masa se reduce a una constante para la estructura:
D / m = k ρ v² con k = Cd A / 2m
En el planeo T es cero, así que la lectura es simplemente a = −k ρ v². Un ajuste de línea recta de la desaceleración de planeo contra la densidad por la velocidad al cuadrado, pasando por el origen porque la física dice que no hay nada más en ello, da k para ese vuelo, organizado de modo que una carga de eyección o un destello de apogeo no puedan desviarlo. Nada sobre el tamaño, forma o coeficiente de arrastre del cohete es necesario; el vuelo mide su propia resistencia. En un vuelo que se vuelve transónico la constante se ajusta por banda de Mach en lugar de una sola vez, porque el planeo vuelve exactamente a través de las velocidades por las que subió el quemado, y el coeficiente de arrastre no es un número a través de Mach 1.
Cada muestra de planeo del mismo vuelo: la lectura del acelerómetro, que es solo la desaceleración por resistencia, contra la densidad del aire por la velocidad al cuadrado. La pendiente es la constante de resistencia, y el ajuste explica el planeo casi perfectamente.
La misma constante se suma de nuevo a través del quemado, y lo que queda es solo el empuje, por unidad de masa:
T / m = a + k ρ v²
La densidad viene de la altitud fusionada a través de la misma fórmula barométrica que el sitio usa en todas partes. La velocidad es la velocidad vertical fusionada, y las dos secciones siguientes tratan por qué tiene que ser fusionada y qué cuesta la vertical. Una vez que la constante es correcta la traza lee cero a través del planeo y el apagado, la cola se apaga y se puede leer directamente de la línea un segundo encendido de etapa. La compensación solo puede elevar el quemado por la resistencia vista justo después del apagado, así que una traza muy por encima de la lectura cruda es una falla en la velocidad o el ajuste, no un motor más fuerte, y las estadísticas propias del ajuste se mantienen con el vuelo para que eso pueda verificarse en lugar de asumirse.
La lectura cruda y la traza compensada por resistencia. Con la resistencia sumada de nuevo el planeo se sienta en cero y el quemado se eleva por la resistencia contra la que estaba luchando.
¿Qué hay con la densidad del aire?
La densidad en el término de resistencia es una relación a la rampa, no una cifra absoluta. Viene de la altitud fusionada sobre la rampa a través de la fórmula barométrica resuelta para densidad en lugar de presión:
ρ / ρrampa = (1 − L h / Trampa)n − 1
con h la altura sobre la rampa, L la tasa de lapso estándar, Trampa la temperatura de rampa (la del altímetro donde registra una) y n el exponente de presión de la fórmula barométrica, menos uno por la temperatura que cae con él. Solo dice cuánto más delgado es el aire allá arriba que donde el cohete salió. Porque la constante de resistencia se ajusta contra esa misma relación, sale en unidades de densidad de rampa y la densidad real del día se cancela: sin importar cuál fuera el aire, la constante por la relación por la velocidad al cuadrado es la resistencia que el acelerómetro midió. Los datos del clima no pueden hacer que el empuje o el impulso sean más precisos, y no los usamos para esto.
Lo que la relación sí lleva es el cambio de densidad entre el planeo, donde se ajusta la constante, y el quemado, donde se aplica. Eso es menos del diez por ciento por kilómetro, así que una fracción pequeña de un término de resistencia que es en sí mismo una pequeña parte del empuje. El único lugar donde la densidad del día importaría es si quisieras el coeficiente de arrastre del cohete como un número absoluto, y esa es una pregunta sobre la estructura, no el motor.
Por qué la velocidad tiene que ser fusionada
La resistencia va con la velocidad al cuadrado, así que cualquier error en la velocidad se duplica en la resistencia y va directo al empuje. Una velocidad tomada solo de la presión no es lo suficientemente buena para esto, por dos razones.
La primera es que la velocidad es la pendiente de la altitud, y tomar la pendiente de una altitud de presión cruda a cientos de muestras por segundo da una línea que es principalmente ruido. Suavizarla lo suficiente para ser usable borra la misma cosa de la que depende el ajuste, el cambio abrupto en el apagado, y retrasa la velocidad real a través del quemado.
El segundo es que el barómetro está en su momento menos confiable exactamente donde la velocidad importa más. El aumento de presión al encendido, el flujo de aire sobre los orificios de ventilación a velocidad, y la carga de eyección todos se cae en el quemado y el planeo temprano, y esos son los momentos donde la resistencia es mayor y el ajuste se decide. Una velocidad solo de presión a través de esa parte del vuelo puede estar fuera por una gran fracción, y al cuadrado eso es una constante de resistencia que es incorrecta para todo el vuelo.
Un buen barómetro, el Nano en vuelo 3057: la velocidad de presión lee aproximadamente diez por ciento alta a través del quemado y varios por ciento baja en el planeo temprano. Pequeño en m/s, duplicado en la resistencia.
Un barómetro en el que no se puede confiar, un Mercury V1 en vuelo 3070: la altitud de presión leyó 77 m alta en el apagado, así que la velocidad de presión alcanza un pico de 181 m/s en un cohete que alcanzó 67. La velocidad fusionada pasa directamente a través de ello.
TrueFuse lleva la velocidad propia del acelerómetro a través de esos momentos, que es suave e inmediata muestra a muestra, y la mantiene a la altitud barométrica a largo plazo así que no puede derivar. La velocidad vertical tomada de esa altitud fusionada tiene la nitidez del acelerómetro y el anclaje del barómetro, y es la misma velocidad que la columna de velocidad propia del altímetro sigue. Porque la constante de resistencia se ajusta contra ella en el planeo y se suma con ella a través del quemado, la una velocidad se usa consistentemente en ambos lados de la ley.
¿Velocidad del cohete o velocidad vertical?
Estrictamente, la resistencia quiere la velocidad del cohete a lo largo de su trayectoria a través del aire, y lo que la fusión lleva es el componente vertical de ello. Los dos están relacionados por el ángulo de trayectoria de vuelo γ desde la vertical:
v = vz / cos γ
Tomamos cos γ como 1 y usamos la velocidad vertical en ambos lados de la ley, y esa es una elección deliberada. Porque k se ajusta contra vz² en el planeo, un vuelo inclinado simplemente ajusta una constante mayor, k / cos²γ, y cuando esa constante se aplica a través del quemado contra el mismo vz² la inclinación se cancela de el empuje. Una inclinación constante no cuesta nada. Lo que queda es el cambio de ángulo entre el quemado y el planeo: la resistencia sumada a través del quemado está fuera por la relación de cos²γ en el quemado a cos²γ en el planeo. Un cohete que sale de la guía a cinco grados y se ha arqueado a diez para cuando el ajuste se realiza está fuera por aproximadamente dos por ciento en el término de resistencia, que es menos de medio por ciento del impulso. Uno que se da la vuelta de diez a veinte grados está fuera por aproximadamente diez por ciento en la resistencia, alrededor de uno y medio por ciento del impulso, siempre leyendo alto.
Probamos la versión completa. El ángulo se puede leer de la dirección de la fuerza específica contra la vertical, pero exactamente donde el empuje y la resistencia son casi iguales el tamaño de la lectura está cerca de cero y su dirección es ruido del sensor, y la resistencia sumada saltó por más que toda la resistencia que estaba corrigiendo. La versión de velocidad vertical no tiene ruido de ángulo en ella, su residual de planeo es la mitad del tamaño, y las constantes de resistencia ajustadas concuerdan con las cifras que los altímetros determinan por sí mismos en vuelo. Exacto en principio pero más ruidoso en la práctica es el comercio equivocado para una medición, así que la ley usa la velocidad vertical y acepta un por ciento o así en un vuelo mal inclinado.
De G a newtons
La traza hasta ahora es empuje por unidad de masa. Para obtener newtons necesitamos la masa en cada instante, y la masa está cayendo conforme se quema el propelente. Con una velocidad de escape efectiva constante c el propelente va en paso con el empuje:
dm / dt = −T / c entonces m(t) = m0 e−A(t) / c donde A(t) = ∫ (T / m) dt
A(t) es solo la traza integrada desde el despegue, la velocidad que el motor ha entregado hasta ahora, así que la masa en cualquier momento es la masa inicial escalada hacia abajo por el empuje entregado hasta entonces. La velocidad de escape es el único valor que hace que el propelente quemado en todo el quemado sea igual a la masa de propelente del motor mp:
c = Aquemado / ln( m0 / (m0 − mp) )
Multiplica la traza por la masa y tienes empuje en newtons, T(t) = m(t) × (T/m)(t). El impulso medido es la masa de propelente por esa velocidad de escape, I = mp c, y dividir c por g da el impulso específico efectivo del motor en este vuelo.
Vuelo 3057: la masa a través del quemado, 82,8 g cayendo a 72,0 g, cayendo más rápido en el pico de empuje.
El resultado en newtons contra la curva de certificación de ThrustCurve.org: 8,6 Ns medidos contra 8,82 Ns nominales, con la forma, el pico y el tiempo de quemado de este vuelo propio.
Los estándares detrás de las cifras
Los motores se califican bajo NFPA 1125, el código estadounidense para la fabricación de motores de cohetes modelo y de alto poder, y el impulso y tiempo de quemado en la página de vuelo siguen sus definiciones para que la comparación con la calificación sea de igual a igual. Cláusula 7.8.3: el tiempo de quemado del propelente corre desde donde el empuje se eleva primero por encima del 5 por ciento de su eventual pico a donde cae por debajo del 5 por ciento del pico. Cláusula 7.8.5: el impulso total se mide desde esa caída del 5 por ciento al último empuje medible antes de la eyección o ruptura, o para un motor taponado a donde toda la acción ha cesado. El retraso (7.8.4) se mide desde la caída del 5 por ciento a la eyección. Mostramos la cifra absoluta, cada newton desde el despegue hasta el final del empuje, junto al de NFPA. Donde el empuje pasó el 5 por ciento del pico mientras la rampa aún sostenía el cohete, la ventana NFPA abre en el despegue y la página lo dice.
El mismo código establece la tolerancia que un lote de producción puede permitir (7.8.6): un motor de cohete modelo puede variar hasta el 20 por ciento de su impulso total promedio establecido, un motor de alto poder el 10 por ciento, y un retraso por 1,5 segundos o 20 por ciento, lo que sea mayor, hasta 3 segundos. Un vuelo que lee un par de por ciento bajo de la calificación no es evidencia de un motor con bajo rendimiento. Es un motor bien dentro de lo que su certificación permite, medido por un método que tiene un por ciento o dos del suyo, y la página de vuelo ahora dice en la línea nominal si la medición se sienta dentro de esa tolerancia.
En América del Norte las pruebas se realizan por el comité de Estándares y Pruebas de la Asociación Nacional de Cohetería (motores de cohetes modelo, y últimamente algunos de alto poder), por el programa de prueba de motores de la Asociación de Cohetería Tripoli (alto poder) y por la Asociación Canadiense de Cohetería. Los tres aceptan mutuamente sus certificaciones, y la Sociedad de Cohetes Modelo Australiana certifica para su propio mercado. Las curvas y cifras con las que comparamos son sus datos de certificación publicados, a través de ThrustCurve.org. Las clases de impulso vienen de la misma familia de códigos: A es 1,26 a 2,50 Ns y cada letra después duplica, con 1/2A y 1/4A debajo. La designación de un motor es su letra de clase seguida por su empuje promedio en newtons durante el tiempo de quemado NFPA, que es cómo la página llega a "medido como E34" para un motor vendido como E30.
En el Reino Unido y la UE los motores son artículos pirotécnicos, categoría P1 o P2 dependiendo del motor, bajo la Directiva de Artículos Pirotécnicos 2013/29/UE y las Regulaciones de Artículos Pirotécnicos (Seguridad) de 2015 del Reino Unido, y deben estar marcados CE para ser vendidos. El estándar armonizado para ellos es EN 16263, Artículos pirotécnicos, Otros artículos pirotécnicos, cuyos métodos de prueba (Parte 4) requieren que el empuje máximo, impulso y tiempo de quemado de un motor de cohete sean medidos y registrados contra las tolerancias declaradas del fabricante. Es un estándar de seguridad y conformidad en lugar de uno de calificación, así que las cifras en la etiqueta y la curva publicada aún vienen de pruebas estáticas por el fabricante o uno de los organismos de certificación anteriores, y es contra eso que comparamos un vuelo.
En un vuelo en etapas cada etapa se enciende en su marca de encendido y la etapa debajo, su estructura y sus vainas gastadas, se suelta en ese momento, así que la masa comienza de nuevo para la siguiente etapa.
Probarlo
Aquí hay algunos vuelos con su levantamiento de pesos de cohete ingresado desde el sitio web, y sus motores especificados.
Las líneas rojo son el empuje calculado de los motores en newtons, las líneas negras son la magnitud de aceleración y la línea punteada verde es una superposición de los datos de thrustcurve.org para el motor.
Este es vuelo 3057 y es un Estes C6. Thrustcurve.org reporta un impulso esperado de 8,82 Ns, y los datos del registro de vuelo calculan 8,62 Ns que es increíblemente cercano.
Este es vuelo 3070 y es un Aerotech E30T-7. Thrustcurve.org reporta un impulso esperado de 33,56 Ns, y los datos del registro de vuelo calculan 33,00 Ns, otro resultado impresionantemente cercano.
Los resultados han verificado nuestro método, y conforme más usuarios ingresen motores y pesos podremos verificar más.
Lo que necesita, y lo que no puede ver
- La masa cargada del cohete y la masa del propelente del motor. La cifra de newtons se escala directamente con la masa cargada; la forma de la curva y el tiempo de quemado no. Uno por ciento fuera en la masa es uno por ciento fuera en el impulso.
- Un planeo lo suficientemente largo para ajustar la resistencia. Sin uno la traza se dibuja sin compensar y el gráfico lo dice.
- La resistencia es una constante para un vuelo subsónico. El coeficiente de arrastre no es un número a través de Mach 1, así que cuando el planeo es lo suficientemente rápido para que eso importe la constante se ajusta por banda de Mach del mismo planeo y el quemado se compensa a la Mach en la que estaba. La parte superior del rango de velocidad, entre el apagado y donde puede comenzar el ajuste de planeo, lleva el valor de la banda más cercana.
- Una velocidad de escape constante a través del quemado. Los motores reales varían un poco, lo que mueve dónde se pierde la masa dentro del quemado pero no el impulso, que está establecido por la masa de propelente.
- Un acelerómetro con rango de sobra. Un motor que empuja la lectura más allá de la escala completa del sensor tiene su pico cortado, y el impulso entonces lee bajo por lo que sea por encima del límite. El Nano lee hasta 32 G.
- Suficientes muestras a través del quemado. Un pico de empuje solo una o dos muestras de ancho se subestima; eso cuesta pico de empuje mucho más que el impulso, que es una integral y lo perdona.
- El propelente quemado antes de que el cohete salga de la rampa no se ve. Es el corto aumento al peso del cohete y pequeño contra el quemado.
- Inclinación. Una inclinación constante se cancela de la ley; solo un cambio de ángulo entre quemado y planeo queda, un pocos por ciento del término de resistencia y una fracción de un por ciento del impulso, como se indicó anteriormente.
